题目内容

已知函数y=sinx+cosx，给出以下四个命题，其中为真命题的是（　　）
分析：先根据两角和与差将函数化简为y=
2
sin（x+
π
4
），然后分别求解①②③④，判断它们的正误，即可得到选项．
解答：解：∵y=sinx+cosx=
2
sin（x+
π
4
）
由三角函数的性质可得：函数y=
2
sin（x+
π
4
），的单调减区间为[2kπ+
π
4
，2kπ+
5π
4
]，所以在区间[
π
4
，
5π
4
]上是减函数，故AB错误；
函数图象的对称轴为x=
π
4
+kπ，k∈Z，当k=0时，x=
π
4
，故C正确；
函数y=
2
sin x的图象向右平移
π
4
个单位长度得到y=
2
sin（x-
π
4
），故D错误．
故选：C．
点评：解决此类问题的关键是熟练掌握函数y=Asin（ωx+φ）的性质与函数图象的平移变换，正弦函数的单调性，正弦函数的对称性，考查学生的分析问题解决问题的能力，是基础题．
练习册系列答案
相关题目
已知函数y=(sinx+cosx)2+2
3
cos2x求它的最大、最小值，并指明函数取最大、最小值时相应x的取值集合．
已知函数y=sinx+
3
cosx．
（1）求它的最小正周期和最大值；
（2）求它的递增区间．
已知函数y=sinx在点(
π
3
，
3
2
)的切线与y=log2x在点A处的切线平行，则点A的横坐标是
2log2e．（注：填
2
ln2
也给分）
2log2e．（注：填
2
ln2
也给分）
．
已知函数y=sinx+cosx，给出下列四个命题：
（1）若x∈[0，
π
2
]，则y∈(0，
2
]；
（2）直线x=-
3π
4
是函数y=sinx+cosx图象的一条对称轴；
（3）在区间[
π
4
，
5π
4
]上函数y=sinx+cosx是减函数；
（4）函数y=sinx+cosx的图象可由y=
2
sinx的图象向右平移
π
4
个单位而得到．其中正确命题的序号是
（2）（3）
（2）（3）
．
已知函数y=sinx+cosx，y=2
2
sinxcosx，则下列结论中，正确的序号是
③
③
．
①两函数的图象均关于点（-
π
4
，0）成中心对称；
②两函数的图象均关于直线x=-
π
4
成轴对称；
③两函数在区间（-
π
4
，
π
4
）上都是单调增函数； 
④两函数的最小正周期相同．

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