Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠DAB=∠ABC=

π

2

，且AB=BC=2AD=2，侧面PAB⊥底面ABCD，△PAB是等边三角形．
（1）求证：BD⊥PC；
（2）求二面角B-PC-D的大小．

Answer 1

分析：（1）先取AB 中点为O，连接PO，CO，根据条件得到PO⊥AB，再结合侧面PAB⊥底面ABCD，得到PO⊥底面ABCD，即可得到OC为PC在底面ABCD上的射影；最后结合△DAB≌△OBC得BD⊥OC即可得到结论．
（2）先取PC中点E，连接BE，DE，可以证得∠BED就是二面角B-PC-D的平面角；在通过求三角形BED的三边长，即可得到结论．

解答：解：（1）取AB 中点为O，连接PO，CO，
∵△PAB 是等边三角形，
∴PO⊥AB，
又∵侧面PAB⊥底面ABCD，
∴PO⊥底面ABCD，
∴OC为PC在底面ABCD上的射影，
又∵AB=BC=2AD=2，∠ABC=∠DAB=

π

2

，
∴△DAB≌△OBC，∴∠BCO=∠DBA，
∴BD⊥OC，∴BD⊥PC．
（2）取PC中点E，连接BE，DE，
∵PB=BC，
∴BE⊥PC，
又∵BD⊥PC，BE∩BD=B，
∴PC⊥平面BDE
，∴PC⊥DE，
∴∠BED就是二面角B-PC-D的平面角．
∵AB=BC=2AD=2，∠ABC=

π

2

，
∴BE=PF=

1

2

PC=

2

，PD=BD=

5

，
∴DE=

3

，
∴BE²+DE²=BD²，
∴∠BED=

π

2

．
即二面角B-PC-D的大小为：

π

2

．

点评：本题主要考察空间中直线和直线之间的位置关系以及二面角的求法．一般在证明线线垂直时，通常先证明线面垂直，进而推得线线垂直，或用三垂线定理或其逆定理．