Question

14．数列{a_n}满足na_n+1-（n+1）a_n=0，已知a₁=2．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=$\frac{1}{2}{a_n}$，S_n为数列$\left\{{\frac{1}{{2{b_n}{b_{n+1}}}}}\right\}$的前n项的和，求证：S_n＜$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （I）通过na_n+1=（n+1）a_n可得$\frac{{{a_{n+1}}}}{n+1}=\frac{a_n}{n}=\frac{a_1}{1}=2$，进而可得结论；
（II）通过b_n=n、b_n+1=n+1分离分母，累加即得结论．

解答 （I）解：∵na_n+1=（n+1）a_n，∴$\frac{{{a_{n+1}}}}{n+1}=\frac{a_n}{n}=\frac{a_1}{1}=2$，
∴a_n+1=2（n+1），∴a_n=2n；
（II）证明：由（I）可知，b_n=n，∴b_n+1=n+1，
∴$\frac{1}{{2{b_n}{b_{n+1}}}}=\frac{1}{2}•\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
∴${S_n}=\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）=\frac{1}{2}（1-\frac{1}{n+1}）=\frac{1}{2}-\frac{1}{2（n+1）}＜\frac{1}{2}$，
即${S_n}＜\frac{1}{2}$（n∈N^*）；

点评 本题考查求数列的通项、判定数列和的大小范围，注意解题方法的积累，属于中档题．