题目内容
已知函数
定义在区间
上,
,且当
时,恒有
.又数列
满足
.
(Ⅰ)证明:
在
上是奇函数;
(Ⅱ)求
的表达式;
(III)设
为数列
的前
项和,若
对
恒成立,求
的最小值.







(Ⅰ)证明:


(Ⅱ)求

(III)设






(Ⅰ)见解析(Ⅱ)
(III)m的最小值为7

本试题主要是考查了函数与数列的知识点的交汇处的运用。
(1)运用赋值法,令x=y=0时,则由已知有
,
可解得f (0)=0.
再令x=0,y∈(-1,1),则有
,即
,
∴ f (x)是(-1,1)上的奇函数
(2)令x=an,y= -an,于是
,
由已知得2f (an)="f" (an+1),
∴
,
从而得到 数列{f(an)}是以f(a1)=
为首项,2为公比的等比数列.
∴
(3)由(II)得f(an+1)=-2n,于
.
然后求解和式,得到结论。
解:(Ⅰ)证明:令x=y=0时,则由已知有
,
可解得f (0)=0.
再令x=0,y∈(-1,1),则有
,即
,
∴ f (x)是(-1,1)上的奇函数. 4分
(Ⅱ)令x=an,y= -an,于是
,
由已知得2f (an)="f" (an+1),
∴
,
∴ 数列{f(an)}是以f(a1)=
为首项,2为公比的等比数列.
∴
8分
(III)由(II)得f(an+1)=-2n,于
.
∴ Tn= b1+ b2+ b3+…+ bn
,
.
∴
. 9分
令
于是
,
∴
.
∴ k(n+1)<k(n),即k(n)在N*上单调递减, 12分
∴ k(n)max=k(1)=
,
∴
≥
即m≥
.
∵ m∈N*,
∴ m的最小值为7. 14分
(1)运用赋值法,令x=y=0时,则由已知有

可解得f (0)=0.
再令x=0,y∈(-1,1),则有


∴ f (x)是(-1,1)上的奇函数
(2)令x=an,y= -an,于是

由已知得2f (an)="f" (an+1),
∴

从而得到 数列{f(an)}是以f(a1)=

∴

(3)由(II)得f(an+1)=-2n,于

然后求解和式,得到结论。
解:(Ⅰ)证明:令x=y=0时,则由已知有

可解得f (0)=0.
再令x=0,y∈(-1,1),则有


∴ f (x)是(-1,1)上的奇函数. 4分
(Ⅱ)令x=an,y= -an,于是

由已知得2f (an)="f" (an+1),
∴

∴ 数列{f(an)}是以f(a1)=

∴

(III)由(II)得f(an+1)=-2n,于

∴ Tn= b1+ b2+ b3+…+ bn


∴

令

于是

∴

∴ k(n+1)<k(n),即k(n)在N*上单调递减, 12分
∴ k(n)max=k(1)=

∴



∵ m∈N*,
∴ m的最小值为7. 14分

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