Question

【题目】已知与的夹角为，，，设，.

（1）当时，求与的夹角大小；

（2）是否存在实数，使得与的夹角为钝角，若存在求出的取值范围，若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1） （2）存在,

【解析】

（1）根据平面向量数量积的定义,结合已知条件求得.由向量模的定义求得、,结合平面向量数量积的夹角公式即可求解.

（2）根据两个向量夹角为钝角时,数量积小于0,可得的取值范围;当向量与反向共线时,数量积小于0但夹角不是钝角,所以排除反向共线时的值.

（1）因为与的夹角为，，

所以

因为

所以

当时,

所以

所以

则

所以与的夹角为

（2）

假设存在实数,使得与的夹角为钝角

则

即

代入可得

所以

又当向量与反向共线时,数量积也小于0,但此时夹角为,不是钝角

此时

可得,解得

所以当时向量与反向共线

综上可知当时与的夹角为钝角