[题目]定义:由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形．如果两个椭圆的“特征三角形是相似的.则称这两个椭圆是“相似椭圆 .并将三角形的相似比称为椭圆的相似比．已知椭圆．(1)若椭圆.判断与是否相似?如果相似.求出与的相似比,如果不相似.请说明理由,(2)写出与椭圆相似且短半轴长为的椭圆的方程,若在椭圆上存在� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

【题目】定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比．已知椭圆．

（1）若椭圆，判断与是否相似？如果相似，求出与的相似比；如果不相似，请说明理由；

（2）写出与椭圆相似且短半轴长为的椭圆的方程；若在椭圆上存在两点、关于直线对称，求实数的取值范围．

【答案】(1)相似;相似比为;(2);.

【解析】

(1)分别求出两个椭圆的特征三角形的腰长和底边长2,进而求出两个椭圆的相似比;

(2)由题意易得与椭圆与椭圆的相似比为1:,进而可求得椭圆得长半轴长,即可得椭圆的方程为;设直线方程为,联立直线方程和椭圆的方程消元化简，借助于与的交点关于对称和根的判别式大于零,可求得的取值范围.

(1)由题意知:椭圆的特征三角形是腰长为=2,底边长2=2的等腰三角形; 椭圆的特征三角形是腰长为=4,底边长2=4的等腰三角形,则由,得两个三角形相似,所以可得椭圆与椭圆相似,且相似比为;

(2)由椭圆和椭圆相似,且短半轴长分别为1和,可得相似比为1:,则可得椭圆的长半轴长为2,所以椭圆的方程为:;

由题意设直线为,点M,N,中点坐标为(),

联立消元化简得:

∴∴,, ∴中点坐标为(,)

由中点在直线上,可得=+1,解得=,

由直线与椭圆有两个不同的交点得,

代入=解得.

故实数的取值范围为

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A. ，，依次成公比为2的等比数列，且

B. ，，依次成公比为2的等比数列，且

C. ，，依次成公比为的等比数列，且

D. ，，依次成公比为的等比数列，且

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表1：

编号\测试项目	1	2	3	4	5
1	×	√	√	√	√
2	√	√	√	√	×
3	√	√	√	√	×
4	√	√	√	×	×
5	√	√	√	√	√
6	√	×	×	√	×
7	×	√	√	√	×
8	√	×	×	×	×
9	√	√	×	×	×
10	√	√	√	√	×