Question

【题目】已知是定义在上的奇函数，且，当，且时，有成立．

（1）判断在上的单调性，并给予证明；

（2）若对任意的以及任意恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）增函数，证明见解析；（2）或或

【解析】

(1)利用函数单调性的定义证明抽象函数的单调性；

(2)先根据(1)的单调性可求出，代入不等式，不等式就可等价为即对任意的，恒成立，接下去有两种方法可求：一、把右边看成是关于的二次函数进行讨论求最小值；二、把右边看成是关于的一次函数求最小值即可.

(1)证明：设，且，

则由是定义在上的奇函数得：

又因为当，且时，

有成立，

所以，

即得，所以在上为增函数．

（2）解法一：由（1）有在上，

所以有对任意的，恒成立，则：

（ⅰ）显然满足题意；

（ⅱ）当，，即，得；

（ⅲ）当，，即，得；

综上有或或．

（2）解法二：由（1）有在上，

所以有对任意的恒成立，

则且，得或或．