题目内容
【题目】已知函数f(x)=xex﹣ax2﹣x;
(1)若f(x)在x=﹣1处取得极值,求a的值及f(x)的单调区间;
(2)当x>1时,f(x)>0恒成立,求a的取值范围.
【答案】(1)见解析(2)a≤e﹣1
【解析】
(1)求出f′(x),得到f′(﹣1)=0,解出即可;(2)当x>1时,f(x)>0,转化为a,设g(x)
,(x>1),则利用导数求出g(x)的最小值,即可求得a的取值范围.
1)f′(x)=(x+1)ex﹣2ax﹣1,
若f(x)在x=﹣1处取得极值,则f′(﹣1)=2a﹣1=0,
解得:a,
故f(x)=xexx2﹣x,f′(x)=(x+1)ex﹣x﹣1=
,
令f′(x)>0,解得:x>0或x<﹣1,
令f′(x)<0,解得:﹣1<x<0,
∴f(x)在(﹣∞,﹣1)递增,在(﹣1,0)递减,在(0,+∞)递增;
故单调增区间为(﹣∞,﹣1),(0,+∞);减区间为(﹣1,0)
(2)x>1时,f(x)=xex﹣ax2﹣x>0,即a,
设g(x),(x>1)
∴g′(x)0,
∴g(x)在(1,+∞)递增,
g(x)>g(1)=e﹣1,
∴a≤e﹣1.
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