题目内容
【题目】如图,已知椭圆与
的中心在坐标原点
,长轴均为
且在
轴上,短轴长分别为
,
,过原点且不与
轴重合的直线
与
,
的四个交点按纵坐标从大到小依次为
,记
,
和
的面积分别为
和
.
(1)当直线与
轴重合时,若
,求
的值;
(2)当变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线
,使得
?并说明理由.
【答案】(1);(2)见解析
【解析】
(1)设出两个椭圆的方程,当直线与
轴重合时,求出
和
的面积分
和
,直接由面积比
列式求
的值.
(2)假设存在与坐标轴不重合的直线,使得
,设出直线方程,由点到直线的距离公式求出
和
到直线
的距离,利用数学转化思想把两个三角形的面积比转化为线段长度比,由弦长公式得到线段长度比的另一表达式,两式相等得到
,换元后利用非零的
值存在讨论
的取值范围.
由题意可设椭圆和
的方程分别为
,
,
其中,
(1)如图,若直线
与
轴重合,即直线
的方程为
,
所以
在和
的方程中分别令
,
可得
于是
若则
化简得
由解得
故直线与
轴重合时,若
,则
(2)如图
在与坐标轴不重合的直线,使得
,
根据对称性,不妨设直线
,
点,
,到直线
的距离分别为
,
则,
,
所以,
又
,
所以即
由对称性可知
所以
于是①
将直线的方程分别与
和
的方程联立,
可求得
根据对称性可知
于是
,②
从而由①和②可得
,③
令,则由
,
可得于是由③可得
因为 所以
于是③关于有解,当且仅当
等价于
由解得
即,由
解得
所以当时,不存在与坐标轴不重合的直线
使得
当时,存在与坐标轴不重合的直线
使得
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