题目内容
【题目】如图，已知椭圆
与
的中心在坐标原点
，长轴均为
且在
轴上，短轴长分别为
，
，过原点且不与轴重合的直线
与，的四个交点按纵坐标从大到小依次为
，记
，
和
的面积分别为
和
.
（1）当直线与
轴重合时，若
，求
的值；
（2）当变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线，使得？并说明理由.
【答案】（1）
；（2）见解析
【解析】
（1）设出两个椭圆的方程，当直线
与
轴重合时，求出
和
的面积分
和
，直接由面积比
列式求
的值.
（2）假设存在与坐标轴不重合的直线，使得
，设出直线方程，由点到直线的距离公式求出
和
到直线的距离，利用数学转化思想把两个三角形的面积比转化为线段长度比，由弦长公式得到线段长度比的另一表达式，两式相等得到
，换元后利用非零的
值存在讨论的取值范围.
由题意可设椭圆
和
的方程分别为
，
，
其中
，
（1）如图
，若直线与轴重合，即直线的方程为
，
所以
在和的方程中分别令，
可得
于是
若
则
化简得
由
解得
故直线与轴重合时，若，则
（2）如图
在与坐标轴不重合的直线，使得，
根据对称性，不妨设直线
，
点
，
，到直线的距离分别为
，
则
，
，
所以
，
又
，
所以
即
由对称性可知
所以
于是
①
将直线的方程分别与和的方程联立，
可求得
根据对称性可知
于是
，②
从而由①和②可得
，③
令
，则由
，
可得
于是由③可得
因为
所以
于是③关于有解，当且仅当
等价于
由解得
即
，由解得
所以当
时，不存在与坐标轴不重合的直线
使得
当
时，存在与坐标轴不重合的直线使得
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