题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,
为
中点,侧棱
,底面
为直角梯形,其中
,
,
平面
,
、
分别是线段
、
上的动点,且
.
(1)求证:平面
;
(2)当三棱锥的体积取最大值时,求
到平面
的距离;
(3)在(2)的条件下求与平面
所成角.
【答案】(1)证明见解析;(2);(3)
.
【解析】
(1)证明和
即可;
(2)根据体积最值关系求出分别为
的中点,建立空间直角坐标系,求出平面
的法向量,利用公式
求距离;
(3)结合第(2)问的法向量利用公式即可求出线面角.
(1)在中,
为
中点,侧棱
,所以
,
又因为平面
,
平面
,所以
,
是平面
内两条相交直线,
所以平面
;
(2),即
,
,所以
是等腰直角三角形,
,
平面
,
平面
,所以
,
连接,
设,则
,由(1)
平面
,
所以是点
到平面
的距离,
所以三棱锥的体积
,
,当
时,取得最大值
此时分别为
的中点,
,所以四边形
是平行四边形,
,
所以四边形是正方形,
,
以为原点,
方向为
轴正方向建立空间直角坐标系,如图所示:
则,
,
设平面的法向量
,则
,
取,则
,
所以点到平面
的距离
;
(3)设与平面
所成角为
,
,
,
即与平面
所成角为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某网络营销部门为了统计某市网友某日在某淘宝店的网购情况,随机抽查了该市当天名网友的网购金额情况,得到如下统计表(如图).
网购金额(单位:千元) | 频数 | 频率 |
3 | 0.05 | |
9 | 0.15 | |
15 | 0.25 | |
18 | 0.30 | |
若网购金额超过千元的顾客定义为“网购达人”,网购金额不超过
千元的顾客定义为“非网购达人”,已知“非网购达人”与“网购达人”人数比恰好为
.
(Ⅰ)试确定的值,并补全频率分布直方图(如图);
(Ⅱ)该营销部门为了进一步了解这名网友的购物体验,从“非网购达人”与“网购达人”中用分层抽样的方法抽取
人,若需从这
人中随机选取
人进行问卷调查.设
为选取的
人中“网购达人”的人数,求
的分布列及其数学期望.
【题目】某机器生产商,对一次性购买两台机器的客户推出两种超过质保期后两年内的延保维修方案:
方案一:交纳延保金元,在延保的两年内可免费维修
次,超过
次每次收取维修费
元;
方案二:交纳延保金元,在延保的两年内可免费维修
次,超过
次每次收取维修费
元.
某工厂准备一次性购买两台这种机器,现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案,为此搜集并整理了台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数,统计得下表:
维修次数 | 0 | 1 | 2 | 3 |
机器台数 | 20 | 10 | 40 | 30 |
以上台机器维修次数的频率代替一台机器维修次数发生的概率,记
表示这两台机器超过质保期后延保两年内共需维修的次数.
求
的分布列;
以所需延保金与维修费用之和的期望值为决策依据,该工厂选择哪种延保方案更合算?
【题目】某部门经统计,客户对不同款型理财产品的最满意程度百分比和对应的理财总销售量(万元)如下表(最满意度百分比超高时总销售量最高):
产品款型 | A | B | C | D | E | F | G | H | I | J |
最满意度% | 20 | 34 | 25 | 19 | 26 | 20 | 19 | 24 | 19 | 13 |
总销量(万元) | 80 | 89 | 89 | 78 | 75 | 71 | 65 | 62 | 60 | 52 |
设表示理财产品最满意度的百分比,
为该理财产品的总销售量(万元).这些数据的散点图如图所示.
(1)在份
款型理财产品的顾客满意度调查资料中任取
份;只有一份最满意的,求含有最满意客户资料事件的概率.
(2)我们约定:相关系数的绝对值在以下是无线性相关,在
以上(含
)至
是一般线性相关,在
以上(含
)是较强线性相关,若没有达到较强线性相关则采取“末位”剔除制度(即总销售量最少的那一款产品退出理财销售);试求在剔除“末位”款型后的线性回归方程(系数精确到
).
数据参考计算值:
项目 |
|
|
|
| ||
值 | 21.9 | 72.1 | 288.9 | 37.16 | 452.1 | 17.00 |
附:回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为:
线性相关系数
.