题目内容
设不等式组
所表示的平面区域为Dn，记Dn内的整点个数为an(n∈N*)(整点即横坐标和纵坐标均为整数的点)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记数列{an}的前n项和为Sn，且Tn＝
.若对于一切的正整数n，总有Tn≤m，求实数m的取值范围．
（1）an＝3n(n∈N*)（2）m≥
.
【解析】(1)由x＞0，y＞0，3n－nx＞0，得0＜x＜3.
∴x＝1，或x＝2.∴Dn内的整点在直线x＝1和x＝2上．
记直线y＝－nx＋3n为l，l与直线x＝1、x＝2的交点的纵坐标分别为y1，y2.
则y1＝－n＋3n＝2n，y2＝－2n＋3n＝n.∴an＝3n(n∈N*)．
(2)∵Sn＝3(1＋2＋3＋…＋n)＝
，
∴Tn＝
，∴Tn＋1－Tn＝
，
∴当n≥3时，Tn＞Tn＋1，且T1＝1＜T2＝T3＝
.
于是T2，T3是数列{Tn}中的最大项，故m≥.
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