题目内容
已知数列{an}、{bn}满足bn=,求证:数列{an}成等差数列的充要条件是数列{bn}也是等差数列。
证明略
①必要性:
设{an}成等差数列,公差为d,∵{an}成等差数列
从而bn+1-bn=a1+n·d-a1-(n-1)d=d为常数。
故{bn}是等差数列,公差为d。
②充分性:
设{bn}是等差数列,公差为d′,则bn=(n-1)d′
∵bn(1+2+…+n)=a1+2a2+…+nan ①
bn-1(1+2+…+n-1)=a1+2a2+…+(n-1)an ②
①-②得:nan=bn-1?
从而得an+1-an=d′为常数,故{an}是等差数列。
综上所述,数列{an}成等差数列的充要条件是数列{bn}也是等差数列。
设{an}成等差数列,公差为d,∵{an}成等差数列
从而bn+1-bn=a1+n·d-a1-(n-1)d=d为常数。
故{bn}是等差数列,公差为d。
②充分性:
设{bn}是等差数列,公差为d′,则bn=(n-1)d′
∵bn(1+2+…+n)=a1+2a2+…+nan ①
bn-1(1+2+…+n-1)=a1+2a2+…+(n-1)an ②
①-②得:nan=bn-1?
从而得an+1-an=d′为常数,故{an}是等差数列。
综上所述,数列{an}成等差数列的充要条件是数列{bn}也是等差数列。
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