Question

【题目】已知△ABC内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足a（ sinC+cosC）=b+c．
（I） 求角A的大小；
（Ⅱ）已知函数f（x）=sin（ωx+A）的最小正周期为π，求f（x）的减区间．

Answer 1

【答案】解：（I）在△ABC中，由题意及正弦定理可得：sinA（ sinC+cosC）=sinB+sinC，
∴ sinAsinC+sinAcosC=sin（A+C）+sinC=sinAcosC+cosAsinC+sinC，
整理可得： sinAsinC=cosAsinC+sinC，
又∵C为三角形内角，sinC≠0，
∴ sinA=cosA+1，
∴2（ sinA﹣ cosA）=1，即sin（A﹣ ）= ，
又∵A﹣ ∈（﹣ ， ），
∴A﹣ = ，可得：A=
（Ⅱ）由题意，ω= =2，
∴f（x）=sin（2x+ ），
∴由2kπ+ ≤2x+ ≤2kπ+ ，（k∈Z），可得：kπ+ ≤x≤kπ+ ，（k∈Z），
∴f（x）的减区间为：[kπ+ ，kπ+ ]，（k∈Z）
【解析】（I）由正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式 sinAsinC=cosAsinC+sinC，又sinC≠0，利用三角函数恒等变换的应用可得sin（A﹣ ）= ，由A﹣ ∈（﹣ ， ），即可解得A的值．（Ⅱ）利用三角函数周期公式可求ω，可得函数解析式为f（x）=sin（2x+ ），由2kπ+ ≤2x+ ≤2kπ+ ，（k∈Z），即可解得f（x）的减区间．
【考点精析】掌握正弦定理的定义是解答本题的根本，需要知道正弦定理:．