Question

已知函数其中a是实数．设，为该函数图象上的两点，且．
（1）指出函数f(x)的单调区间;
（2）若函数f(x)的图象在点A，B处的切线互相垂直，且，求的最小值;
（3）若函数f(x)的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．

Answer 1

（1）[－1，0)，(0，+∞)
（2）1
（3）(－ln2－1，+∞)

（1）函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为[－1，0)，(0，+∞)．
（2）由导数的几何意义可知，点A处的切线斜率为，点B处的切线斜率为，
故当点A处的切线与点B处的切线垂直时，有．
当x<0时，对函数f(x)求导，得．
因为，所以，
所以．
因此
当且仅当，即且时等号成立．
所以函数f(x)的图象在点A，B处的切线互相垂直时，的最小值为1．
（3）当或时，，故．
当时，函数f(x)的图象在点处的切线方程为，
即．
当时，函数f(x)的图象在点处的切线方程为，即．
两切线重合的充要条件是
由（1）式及知，．
由（1）（2）式得，．
设，
则．
所以是减函数．
则．
所以．
又当且趋近于－1时，无限增大，
所以a的取值范围是．
故当函数f(x)的图象在点A，B处的切线重合时，a的取值范围是．