Question

15．等差数列{a_n}前n项和为S_n，已知f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$，且f（a₂-2）=sin$\frac{2014π}{3}$，f（a₂₀₁₄-2）=cos$\frac{2015π}{6}$，则S₂₀₁₅=4030．

Answer 1

分析 由f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$，可得f（x）+f（-x）=0，又f（a₂-2）+f（a₂₀₁₄-2）=0，可得a₂-2+a₂₀₁₄-2=0，再利用等差数列的性质即可得出．

解答 解：∵f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$，
∴f（x）+f（-x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$+$\frac{{2}^{-x}-1}{{2}^{-x}+1}$=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$+$\frac{1-{2}^{x}}{1+{2}^{x}}$=0，
又f（a₂-2）=$sin\frac{2014π}{3}$=$sin（671π+\frac{1}{3}π）$=-$sin\frac{π}{3}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
f（a₂₀₁₄-2）=$cos\frac{2015π}{6}$=$cos（335π+\frac{5π}{6}）$=-$cos\frac{5π}{6}$=$cos\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴f（a₂-2）+f（a₂₀₁₄-2）=0，
∴a₂-2+a₂₀₁₄-2=0，
∴a₂+a₂₀₁₄=4．
∴S₂₀₁₅=$\frac{2015（{a}_{1}+{a}_{2015}）}{2}$=$\frac{2015（{a}_{2}+{a}_{2014}）}{2}$=4030．
故答案为：4030．

点评 本题考查了等差数列的性质及其前n项和公式、函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．