Question

3．已知椭圆的中心在原点，离心率为$\frac{1}{2}$，一个焦点是F（-1，0）．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设Q是椭圆上的一点，过点F、Q的直线l与y轴交于点M，且$\overrightarrow{MQ}$=2$\overrightarrow{QF}$，求直线l的斜率．

Answer 1

分析 （1）由题意的离心率公式和a，b，c的关系，可得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）设Q（x₀，y₀），F（-1，0），设l：y=k（x+1），M（0，k），运用向量共线的坐标表示，求得Q的坐标，代入椭圆方程，计算即可得到k的值．

解答 解：（1）由题意：$c=1，\frac{c}{a}=\frac{1}{2}⇒a=2，b=\sqrt{3}$，
所以椭圆方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；
（2）设Q（x₀，y₀），F（-1，0），
设l：y=k（x+1），M（0，k），
因为$\overrightarrow{MQ}$=2$\overrightarrow{QF}$，即有（x₀，y₀-k）=2（-1-x₀，-y₀），
得$\left\{\begin{array}{l}{x_0}=-\frac{2}{3}\\{y_0}=\frac{k}{3}\end{array}\right.$，所以$Q（-\frac{2}{3}，\frac{k}{3}）$，
代入椭圆方程可得，$\frac{{\frac{4}{9}}}{4}+\frac{{\frac{k^2}{9}}}{3}=1⇒{k^2}=24⇒k=±2\sqrt{6}$．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式，同时考查直线的斜率的求法，注意直线方程和向量共线的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．