Question

10．已知递增等比数列{a_n}，满足a₁=1，且a₂a₄-2a₃a₅+a₄a₆=36．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=log₃a_n+$\frac{1}{2}$，求数列{a_n²•b_n}的前n项和S_n；
（3）在（2）的条件下，令c_n=$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}{b}_{n+2}}$，{c_n}的前n项和为T_n，若T_n＞λ恒成立，求λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设递增等比数列{a_n}的公比为q，由等比数列的通项和性质，计算即可得到q，进而得到通项公式；
（2）化简b_n=log₃a_n+$\frac{1}{2}$=（n-1）log₃$\sqrt{3}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{n}{2}$，再由数列的求和方法：错位相减法可得前n项和S_n；
（3）求得c_n=$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}{b}_{n+2}}$=$\frac{8}{n（n+1）（n+2）}$=4（$\frac{1}{n（n+1）}$-$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$），运用裂项相消求和，可得T_n，判断单调性，求得最小值，再由不等式恒成立思想可得λ的取值范围．

解答 解：（1）设递增等比数列{a_n}的公比为q，
由等比数列的性质可得，a₃²-2a₃a₅+a₅²=36，
即有（a₃-a₅）²=6²，
可得a₅-a₃=6，
即q⁴-q²=6，解得q²=3（-2舍去），
即有q=$\sqrt{3}$，数列{a_n}的通项公式为a_n=（$\sqrt{3}$）^n-1；
（2）b_n=log₃a_n+$\frac{1}{2}$=（n-1）log₃$\sqrt{3}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{n}{2}$，
数列{a_n²•b_n}的通项为$\frac{1}{2}$n•3^n-1．
前n项和S_n=$\frac{1}{2}$（1+2•3+3•3²+4•3³+…+n•3^n-1），
3S_n=$\frac{1}{2}$（1•3+2•3²+3•3³+4•3⁴+…+n•3ⁿ），
两式相减可得，-2S_n=$\frac{1}{2}$（1+3+3²+3³+…+3^n-1-n•3ⁿ）
=$\frac{1}{2}$（$\frac{1-{3}^{n}}{1-3}$-n•3ⁿ），化简可得S_n=$\frac{n•{3}^{n}}{4}$-$\frac{{3}^{n}-1}{8}$；
（3）c_n=$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}{b}_{n+2}}$=$\frac{8}{n（n+1）（n+2）}$=4（$\frac{1}{n（n+1）}$-$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$），
{c_n}的前n项和为T_n=4（$\frac{1}{1•2}$-$\frac{1}{2•3}$+$\frac{1}{2•3}$-$\frac{1}{3•4}$+…+$\frac{1}{n（n+1）}$-$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$）
=4（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$）=2-$\frac{4}{（n+1）（n+2）}$，
由2-$\frac{4}{（n+1）（n+2）}$为递增数列，即有n=1时，取得最小值2-$\frac{2}{3}$=$\frac{4}{3}$．
由T_n＞λ恒成立，可得λ＜$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查等比数列的通项和求和公式的运用，考查数列的求和方法：错位相减法和裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题．