Question

8．在△ABC中，∠ABC=120°，BA=2，BC=3，D，E是线段AC的三等分点，则$\overrightarrow{BD}$•$\overrightarrow{BE}$的值为$\frac{11}{9}$．

Answer 1

分析 根据向量加法、减法的几何意义，可用$\overrightarrow{BA}，\overrightarrow{BC}$分别表示$\overrightarrow{BD}，\overrightarrow{BE}$，从而进行数量积的运算即可．

解答 解：如图，
根据已知条件：
$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{BA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BA}+\frac{1}{3}（\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}）$=$\frac{1}{3}（2\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}）$；
同理$\overrightarrow{BE}=\frac{1}{3}（\overrightarrow{BA}+2\overrightarrow{BC}）$；
∴$\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{BE}=\frac{1}{9}（2{\overrightarrow{BA}}^{2}+5\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}+2{\overrightarrow{BC}}^{2}）$=$\frac{1}{9}（8-15+18）=\frac{11}{9}$．
故答案为：$\frac{11}{9}$．

点评 考查向量加法、减法的几何意义，线段三等分点的定义，以及向量计算公式及运算．