题目内容
已知函数f（x）=sin（ωx+φ）-b（ω＞0，0＜φ＜π）的图象两相邻对称轴之间的距离是
，若将f（x）的图象先向右平移
个单位，再向上平移
个单位，所得函数g（x）为奇函数．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）若对任意x∈[0，
]，f2（x）-（2+m）f（x）+2+m≤0恒成立，求实数m的取值范围．
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| 3 |
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）若对任意x∈[0，
| π |
| 3 |
分析：（1）由周期求得ω，由函数g（x）为奇函数求得φ和b的值，从而得到函数f（x）的解析式．
（2）令 2kπ-
≤2x+
≤2kπ+
，k∈z，求得x的范围，即可得到函数的增区间．同理，令2kπ+
≤2x+
≤2kπ+
，k∈z，求得x的范围，即可得到函数的减区间．
（3）把条件整理可得m≤
+f(x)-1，根据x的范围，求得f（x）的范围，即可求得实数m的取值范围．
（2）令 2kπ-
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| 3π |
| 2 |
（3）把条件整理可得m≤
| 1 |
| f(x)-1 |
解答：解：（1）∵
=2×
，∴ω=2，∴f（x）=sin（2x+φ）-b．
又g(x)=sin[2(x-
)+φ]-b+
为奇函数，且0＜φ＜π，则φ=
，b=
，
故f(x)=sin(2x+
)-
．
（2）令 2kπ-
≤2x+
≤2kπ+
，k∈z，求得 -
+kπ≤x≤
+kπ ，(k∈Z)，
故函数的增区间为[-
+kπ，
+kπ](k∈Z)．
令2kπ+
≤2x+
≤2kπ+
，k∈z，求得
+kπ≤x≤
+kπ ，(k∈Z)，
故函数的减区间为[
+kπ，
+kπ](k∈Z)．
（3）∵f2（x）-（2+m）f（x）+2+m≤0恒成立，f（x）＜0，
∴[f（x）-1]m≥f2（x）-2f（x）+2=[f（x）-1]2+1，
整理可得m≤
，即 m≤
+f(x)-1．
∵x∈[0，
]，∴0≤sin（2x+
）≤1，-
≤f（x）≤1-
，故-1-
≤f(x)-1≤-
．
则有
≤
+f(x)-1≤
，故
+f(x)-1 的最小值为
，
故 m≤
，即m取值范围是 (-∞，
]．
| 2π |
| ω |
| π |
| 2 |
又g(x)=sin[2(x-
| π |
| 6 |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 3 |
故f(x)=sin(2x+
| π |
| 3 |
| 3 |
（2）令 2kπ-
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| 5π |
| 12 |
| π |
| 12 |
故函数的增区间为[-
| 5π |
| 12 |
| π |
| 12 |
令2kπ+
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| 3π |
| 2 |
| π |
| 12 |
| 7π |
| 12 |
故函数的减区间为[
| π |
| 12 |
| 7π |
| 12 |
（3）∵f2（x）-（2+m）f（x）+2+m≤0恒成立，f（x）＜0，
∴[f（x）-1]m≥f2（x）-2f（x）+2=[f（x）-1]2+1，
整理可得m≤
| [f(x)-1]2+1 |
| f(x)-1 |
| 1 |
| f(x)-1 |
∵x∈[0，
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
则有
-3-4
| ||
| 3 |
| 1 |
| f(x)-1 |
1-3
| ||
| 2 |
| 1 |
| f(x)-1 |
-3-4
| ||
| 3 |
故 m≤
-3-4
| ||
| 3 |
-3-4
| ||
| 3 |
点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+∅）的部分图象求解析式，正弦函数的单调性，不等式的性质应用，函数的奇偶性，函数的恒成立问题，属于中档题．
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