题目内容

(本小题满分16分)(本题中必要时可使用公式:) 

 设是各项均为正数的无穷项等差数列.

(Ⅰ)记,已知

 ,试求此等差数列的首项a1及公差d

(Ⅱ)若的首项a1及公差d都是正整数,问在数列中是否包含一个非常数列 

 的无穷项等比数列?若存在,请写出的构造过程;若不存在,说明理由.

解:(1)依题意:

   所以

  

   则…………2分+3分=5分

  即

  所以

  因为数列为无穷项,所以,所以d=2,

  代入(1)(2)得

  当n=1代入(3),得

由(4),当a1<1时,对充分大的n,(4)不成立,所以,a1=1………………(7分)

  经检验,a1=1,d=2满足题意;            ………………………………………………(8分)

(2)

     取

     

     ……

故数列是以a1为首项,1+d(大于1)为公比的非常数等比数列;

又由的取法可知,是正整数之和,记做k

所以,

从而,…中的项

所以,存在这样的非常数列的无穷项等比数列,它包含在中.…………(16分)

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