题目内容
(本小题满分16分)(本题中必要时可使用公式:)
设是各项均为正数的无穷项等差数列.
(Ⅰ)记,已知
,试求此等差数列的首项a1及公差d;
(Ⅱ)若的首项a1及公差d都是正整数,问在数列中是否包含一个非常数列
的无穷项等比数列?若存在,请写出的构造过程;若不存在,说明理由.
解:(1)依题意:,,
所以,
,
则…………2分+3分=5分
即
所以
因为数列为无穷项,所以,所以d=2,
代入(1)(2)得
当n=1代入(3),得,
由(4),当a1<1时,对充分大的n,(4)不成立,所以,a1=1………………(7分)
经检验,a1=1,d=2满足题意; ………………………………………………(8分)
(2)…
取
……
故数列是以a1为首项,1+d(大于1)为公比的非常数等比数列;
又由的取法可知,是正整数之和,记做k。
所以,
从而,…中的项
所以,存在这样的非常数列的无穷项等比数列,它包含在中.…………(16分)
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