题目内容
【题目】如图，
垂直圆O所在的平面，
是圆O的一条直径，C为圆周上异于A，B的动点，D为弦
的中点，
.
（1）证明：平面
平面
；
（2）若
，求平面
与平面
所成锐二面角的余弦值.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
（1）根据
垂直圆O所在的平面，有
，易证
.由线面垂直的判定定理得到
平面
，然后由面面垂直的判定定理证明.
（2）建立空间直角坐标系，分别求得平面
，平面的一个法向量，代入二面角的向量公式求解.
（1）证明：因为垂直圆O所在的平面，所以，
因为D为弦
的中点，O为圆O的圆心，所以.
因为
，所以平面，
又
平面
，所以平面
平面.
（2）如图所示：
以O为原点，建立空间直角坐标系
.
则
从而
设平面的法向量为
，
则
，即
令
，得
.
由（1）可得平面的一个法向量为
则平面与平面所成锐二面角的余弦值为
【题目】某土特产超市为预估2020年元旦期间游客购买土特产的情况，对2019年元旦期间的90位游客购买情况进行统计，得到如下人数分布表.
购买金额（元） |
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人数 | 10 | 15 | 20 | 15 | 20 | 10 |
（1）根据以上数据完成
列联表，并判断是否有
的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.
不少于60元 | 少于60元 | 合计 | |
男 | 40 | ||
18 | |||
合计 |
（2）为吸引游客，该超市推出一种优惠方案，购买金额不少于60元可抽奖3次，每次中奖概率为
（每次抽奖互不影响，且的值等于人数分布表中购买金额不少于60元的频率），中奖1次减5元，中奖2次减10元，中奖3次减15元.若游客甲计划购买80元的土特产，请列出实际付款数
（元）的分布列并求其数学期望.
附：参考公式和数据：
，
.
附表：
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 |
| 0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.005 |
【题目】某手机商家为了更好地制定手机销售策略，随机对顾客进行了一次更换手机时间间隔的调查.从更换手机的时间间隔不少于3个月且不超过24个月的顾客中选取350名作为调查对象，其中男性顾客和女性顾客的比为
，商家认为一年以内（含一年）更换手机为频繁更换手机，否则视为未频繁更换手机.现按照性别采用分层抽样的方法从中抽取105人，并按性别分为两组，得到如下表所示的频数分布表：
事件间隔（月） |
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男性 | x | 8 | 9 | 18 | 12 | 8 | 4 |
女性 | y | 2 | 5 | 13 | 11 | 7 | 2 |
（1）计算表格中x，y的值；
（2）若以频率作为概率，从已抽取的105且更换手机时间间隔为3至6个月（含3个月和6个月）的顾客中，随机抽取2人，求这2人均为男性的概率；
（3）请根据频率分布表填写
列联表，并判断是否有
以上的把握认为“频繁更换手机与性别有关”.
频繁更换手机 | 未频繁更换手机 | 合计 | |
男性顾客 | |||
女性顾客 | |||
合计 |
附表及公式：
P（ | 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
