Question

过曲线f（x）=-x³+3x的点A（2，-2）的切线方程________．

Answer 1

y=-2或9x+y-16=0
分析：分点A（2，-2）为切点和不是切点两种情况讨论，利用导数的几何意义即可得到切线的斜率．
解答：∵f^′（x）=-3x²+3．
①若点A（2，-2）为切点时，则切线的斜率为f^′（2）=-3×2²+3=-9，∴切线的方程为y+2=-9（x-2），化为9x+y-16=0；
②若点A（2，-2）不为切点时，设切点为P（m，n），则切线为y-n=（-3m²+3）（x-m），又点A（2，-2）在切线上，代入得-2-n=（-3m²+3）（2-m），又n=-m³+3m．
联立化为（m+1）（m-2）²=0，∵m≠2，解得m=-1，则n=-2．
∴切线方程为y=-2．
综上可得：过曲线f（x）=-x³+3x的点A（2，-2）的切线方程为y=-2或9x+y-16=0．
故答案为y=-2或9x+y-16=0．
点评：熟练正确分类讨论的思想方法和导数的几何意义、切线的方程是解题的关键．