Question

已知曲线f（x）=x（a+b•lnx）过点P（1，3），且在点P处的切线恰好与直线2x+3y=0垂直．
求（Ⅰ） 常数a，b的值；（Ⅱ）f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（Ⅰ）对函数f（x）=x（a+b•lnx）进行求导，根据P处切线斜率是

3

2

，可得出即a+b=

3

2

；然后根据曲线f（x）=x（a+b•lnx）过点P（1，3），求出a、b的值；
（Ⅱ）首先对函数f（x）进行求导，然后判断导函数的正负，即可求出f（x）的单调区间．

解答：解　（Ⅰ）据题意f（1）=3，所以a=3（1）
f′(x)=(a+blnx)+x•b•

1

x

=a+b+blnx，
又曲线在点P处的切线的斜率为

3

2

，
∴f'（1）=3，即a+b=

3

2

（2）
由（1）（2）解得a=3 ，b=-

3

2

．
（Ⅱ）f′(x)=

3

2

-

3

2

lnx=

3

2

(1-lnx)．
∴当x∈（0，e）时，f'（x）＞0；当x∈（e，+∞）时，f'（x）＜0．
∴f（x）的单调区间为（0，e），（e，+∞），在区间（0，e）上是增函数，在区间（e，+∞）上是减函数．

点评：考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导数研究函数的单调区间，此题难度不大．