Question

（2012•湖北模拟）已知a为常数，a∈R，函数f（x）=x²+ax-lnx，g（x）=e^x．（其中e是自然对数的底数）
（Ⅰ）过坐标原点O作曲线y=f（x）的切线，设切点为P（x₀，y₀），求证：x₀=1；
（Ⅱ）令F(x)=

f(x)

g(x)

，若函数F（x）在区间（0，1]上是单调函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）先对函数求导，f′(x)=2x+a-

1

x

，可得切线的斜率k=2x0+a-

1

x0

=

y0

x0

=

x02+ax0-lnx0

x0

，即x02+lnx0-1=0，由x₀=1是方程的解，且y=x²+lnx-1在（0，+∞）上是增函数，可证
（Ⅱ）由F(x)=

f(x)

g(x)

=

x2+ax-lnx

ex

，F′(x)=

-x2+(2-a)x+a- 1 x +lnx

ex

，先研究函数h(x)=-x2+(2-a)x+a-

1

x

+lnx，则h′(x)=-2x+

1

x2

+

1

x

+2-a．
由h'（x）在（0，1]上是减函数，可得h'（x）≥h'（1）=2-a，通过研究2-a的正负可判断h（x）的单调性，进而可得函数F（x）的单调性，可求

解答：解：（I）f′(x)=2x+a-

1

x

（x＞0）．  …（2分）
过切点P（x₀，y₀）的切线的斜率k=2x0+a-

1

x0

=

y0

x0

=

x02+ax0-lnx0

x0

整理得x02+lnx0-1=0．…（4分）
显然，x₀=1是这个方程的解，又因为y=x²+lnx-1在（0，+∞）上是增函数，
所以方程x²+lnx-1=0有唯一实数解．故x₀=1．…（6分）
（Ⅱ）F(x)=

f(x)

g(x)

=

x2+ax-lnx

ex

，F′(x)=

-x2+(2-a)x+a- 1 x +lnx

ex

．…（8分）
设h(x)=-x2+(2-a)x+a-

1

x

+lnx，则h′(x)=-2x+

1

x2

+

1

x

+2-a．
易知h'（x）在（0，1]上是减函数，从而h'（x）≥h'（1）=2-a．   …（10分）
（1）当2-a≥0，即a≤2时，h'（x）≥0，h（x）在区间（0，1）上是增函数．
∵h（1）=0，∴h（x）≤0在（0，1]上恒成立，即F'（x）≤0在（0，1]上恒成立．
∴F（x）在区间（0，1]上是减函数．
所以，a≤2满足题意．            …（12分）
（2）当2-a＜0，即a＞2时，设函数h'（x）的唯一零点为x₀，
则h（x）在（0，x₀）上递增，在（x₀，1）上递减．又∵h（1）=0，∴h（x₀）＞0．
又∵h（e^-a）=-e^-2a+（2-a）e^-a+a-e^a+lne^-a＜0，
∴h（x）在（0，1）内有唯一一个零点x'，
当x∈（0，x'）时，h（x）＜0，当x∈（x'，1）时，h（x）＞0．
从而F（x）在（0，x'）递减，在（x'，1）递增，与在区间（0，1]上是单调函数矛盾．
∴a＞2不合题意．
综合（1）（2）得，a≤2．           …（15分）

点评：考查学生利用导数研究函数的单调能力，函数单调性的判定，以及导数的运算，试题具有一定的综合性．