题目内容

（1）选修4-2：矩阵与变换
若矩阵A有特征值λ1=2，λ2=-1，它们所对应的特征向量分别为e1=
1
0
和e2=
0
1
．
（I）求矩阵A；
（II）求曲线x2+y2=1在矩阵A的变换下得到的新曲线方程．
（2）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线C1的参数方程为
x=2sinθ
y=cosθ
(θ为参数），C2的参数方程为
x=2t
y=t+1
(t为参数）
（I）若将曲线C1与C2上所有点的横坐标都缩短为原来的一半（纵坐标不变），分别得到曲线C′1和C′2，求出曲线C′1和C′2的普通方程；
（II）以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求过极点且与C′2垂直的直线的极坐标方程．
（3）选修4-5：不等式选讲
设函数f（x）=|2x-1|+|2x-3|，x∈R，
（I）求关于x的不等式f（x）≤5的解集；
（II）若g(x)=
1
f(x)+m
的定义域为R，求实数m的取值范围．
分析：（1）（I）设A=（
ab
cd
），由A
i
=λ1
i
，A
j
=λ2
j
可求得a，b，c，d；
（II）设曲线x2+y2=1上任意一点（x，y）在矩阵A对应的变换下得到的点为（x′，y′），由
20
0-1
x
y
=
x′
y′
，可求得x与x′，y与y′之间的关系，从而可得新曲线方程；
（2）（I）消掉C1：
x=2sinθ
y=cosθ
(θ为参数）与C2：
x=2t
y=t+1
(t为参数）中的参数，可求得其普通方程；
（Ⅱ）依题意可知，在直角坐标系中过极点即为过原点与曲线C2垂直的直线方程为y=-x，由tanθ=1可转化为极坐标方程；
（3）（I）通过对x分类讨论，去掉绝对值符号，转化为一次不等式组，即可求得不等式f（x）≤5的解集；
（II）g（x）=
1
f(x)+m
的定义域为R?f（x）+m≠0恒成立?f（x）+m=0在R上无解，利用绝对值函数的几何意义可求得f（x）的最小值，从而可求得m的范围．
解答：解：（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换
（I）设A=（
ab
cd
），由A
i
=λ1
i
，A
j
=λ2
j
得：
ab
cd
1
0
=2
1
0
=
2
0
，
ab
cd
0
1
=-1×
0
1
=
0
-1
，
∴
a=2
c=0
b=0
d=-1
，故A=
20
0-1
…4分
（II）设曲线x2+y2=1上任意一点（x，y）在矩阵A对应的变换下得到的点为（x′，y′），则
20
0-1
x
y
=
x′
y′
，即
x′=2x
y′=-y
，
∴
x=
1
2
x′
y=-y′
，从而(
1
2
x′)2+（-y′）2=1，即
x′2
4
+y′2=1，
∴新曲线方程为
x2
4
+y2=1…7分
（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程
∵（Ⅰ）C1：
x=2sinθ
y=cosθ
(θ为参数），C2：
x=2t
y=t+1
(t为参数，
∴C1的普通方程为x2+y2=1，C2的普通方程为y=x-1…4分
（Ⅱ）在直角坐标系中过极点即为过原点与曲线C2垂直的直线方程为y=-x，
在极坐标系中，直线化为tanθ=1，方程为θ=
π
4
或θ=
3π
4
…7分
（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲
（Ⅰ）
x＜
1
2
4-4x≤5
或
1
2
≤x≤
3
2
2≤5
或
x＞
3
2
4x-4≤5
，
∴不等式的解集为x∈[-
1
4
，
9
4
]…4分
（Ⅱ）若g（x）=
1
f(x)+m
的定义域为R，则f（x）+m≠0恒成立，即f（x）+m=0在R上无解，
又f（x）=|2x-1|+|2x-3|≥|2x-1-2x+3|=2，
∴f（x）的最小值为2，
∴m＜-2…7分．
点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查特征值与特征向量的计算，考查参数方程化成普通方程，考查抽象思维与转化能力，考查综合分析与运算能力，属于难题．
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相关题目

 （本题是选做题，满分28分，请在下面四个题目中选两个作答，每小题14分，多做按前两题给分）

A．(选修4-1：几何证明选讲)

如图，△ABC是⊙O的内接三角形，PA是⊙O的切线，PB交AC于点E，交⊙O于点D，若PE＝PA，，PD＝1，BD＝8，求线段BC的长.

 

 

 

 

 

 

B．(选修4-2：矩阵与变换)

在直角坐标系中，已知椭圆，矩阵阵，，求在矩阵作用下变换所得到的图形的面积.

C．(选修4-4：坐标系与参数方程)

直线(为参数，为常数且)被以原点为极点，轴的正半轴为极轴，方程为的曲线所截，求截得的弦长.

D．(选修4-5：不等式选讲)

设，求证：.

 

 

 

 

 

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