题目内容
【题目】如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长是2，侧棱长是
，D是AC的中点。
（1）求证：B1C∥平面A1BD；
（2）求二面角A1-BD-A的大小；
（3）在线段AA1上是否存在一点E，使得平面B1C1E⊥平面A1BD，若存在，求出AE的长；若不存在，说明理由。
【答案】（1）见解析；（2）
；（3）
【解析】试题分析：（1）连结AB1交A1B于M，连结B1C，DM，由已知条件得四边形AA1B1B是矩形，由三角形中位线能证明B1C∥平面A1BD．（2）作CO⊥AB于O，建立空间直角坐标系O-xyz．利用向量法能求出二面角A1-BD-A的大小．（3）设E（1，x，0），求出平面B1C1E的法向量，利用向量法能求出存在点E，使得平面B1C1E⊥平面A1BD，且AE＝
试题解析：
（1）连结AB1交A1B于M，连结DM，
因为三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱，
所以四边形AA1B1B是矩形，所以M为AB1的中点。
因为D是AC的中点，所以MD是三角形AB1C的中位线，
所以MD∥B1C。
因为MD
平面A1BD，B1C
平面A1BD，所以B1C∥平面A1BD。
（2）作CO⊥AB于O，所以CO⊥平面ABB1A1，
所以在正三棱柱ABC-A1B1C1中如图建立空间直角坐标系O-xyz。
因为AB=2，AA1=
，D是AC的中点。
所以A（1，0，0），B（-l，0，0），C（0，0， 
），A1（1， 
，0），
所以D（
，0， 
），
=（
，0， 
），
=（2， 
，0）。
设n=（x，y，z）是平面A1BD的法向量，
所以
即
，令x=-
，则y=2，z=3，
所以n=（-
，2，3）是平面A1BD的一个法向量。
由题意可知
=（0， 
，0）是平面ABD的一个法向量，
所以cos<n， 
>=
=
。
由题知二面角A1-BD-A为锐角，所以它的大小为
。
（3）设E（1，x，0），则
=（1，x-
，-
），
=（-1，0，-
），
设平面B1C1E的法向量m=（x1，y1，z1），
所以
即
令z1=-
，则x1=3，y1=
，
m=（3， 
，-
），又m·n=0，即-3
+
-3
=0，解得x=
，
所以存在点E，使得平面B1C1E⊥平面A1BD且AE=
。
