题目内容
【题目】已知函数
在
处有极值.
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求f(x)在
上的最大值和最小值；
（Ⅲ）在下面的坐标系中作出
在
上的图象，若方程
在
上有2个不同的实数解，结合图象求实数
的取值范围．
【答案】(1) 
(2) 函数
在
上最大值为4，最小值为
（3）
【解析】试题分析：（1）根据极值点的概念得到
，即
；（2）在第一问的前提下，分析函数的单调性，根据极值点的概念得到极值；（2）根据图像的单调性和取得的极值画出图像，将有解问题，转化为两个图像有交点问题.
解析：
（Ⅰ）因为
，所以
，即
（Ⅱ）
， 
令
得
或
当
变化时， 
变化如下表：
|
|
| 2 |
| 3 |
| － | 0 | ＋ | ||
| 4 |
|
|
| 1 |
当
时， 
， 
单调递减；
当
时， 
， 
单调递增。
因此，当
时， 
有极小值，并且极小值为
又由于
因此函数
在
上最大值为4，最小值为
（Ⅲ）
在
图像如图所示：
直线
与曲线
相切时，
设切点
，则切线方程： 
令
得
即
得
此时
直线
过
时， 
所以当
时，方程
在
上有2个不同的实数解。
（等价答案： 
）
【题目】现有某高新技术企业年研发费用投入
（百万元）与企业年利润
（百万元）之间具有线性相关关系，近5年的年科研费用和年利润具体数据如下表：
年科研费用 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
企业所获利润 | 2 | 3 | 4 | 4 | 7 |
（1）画出散点图；
（2）求
对
的回归直线方程；
（3）如果该企业某年研发费用投入8百万元，预测该企业获得年利润为多少？
参考公式：用最小二乘法求回归方程
的系数
计算公式：
【题目】柴静《穹顶之下》的播出,让大家对雾霾天气的危害有了更进一步的认识,对于雾霾天气的研究也渐渐活跃起来,某研究机构对春节燃放烟花爆竹的天数x与雾霾天数y进行统计分析,得出下表数据.
x | 4 | 5 | 7 | 8 |
y | 2 | 3 | 5 | 6 |
(1)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程
；
(2)试根据(1)求出的线性回归方程,预测燃放烟花爆竹的天数为9的雾霾天数.
(相关公式：
)
