Question

已知函数f(x)＝－x²＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋ (x>0)．
(1)若g(x)＝m有实数根，求m的取值范围；
(2)确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．

Answer 1

（1）m≥2e
（2）(－e²＋2e＋1，＋∞)

解：(1)∵g(x)＝x＋≥2＝2e等号成立的条件是x＝e，故g(x)的值域是[2e，＋∞)，因此，只需m≥2e，g(x)＝m就有实数根．

(2)若g(x)－f(x)＝0有两个相异的实根，即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，作出g(x)与f(x)的大致图象．
∵f(x)＝－x²＋2ex＋m－1＝－(x－e)²＋m－1＋e²，
∴其图象的对称轴为x＝e，开口向下，最大值为m－1＋e²．
故当m－1＋e²>2e，即m>－e²＋2e＋1时，g(x)与f(x)有两个交点，
即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．
∴m的取值范围是(－e²＋2e＋1，＋∞)．