Question

7．已知等比数列{a_n}的首项a₁=1，公比为x（x＞0），其前n项和为记为S_n，则函数$f（x）=\lim_{n→∞}\frac{S_n}{{{S_{n+1}}}}$的解析式为$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}1&{0＜x≤1}\\{\frac{1}{x}}&{x＞1}\end{array}}\right.$．

Answer 1

分析 当x=1时，S_n=n，可得函数$f（x）=\lim_{n→∞}\frac{S_n}{{{S_{n+1}}}}$=$\underset{lim}{n→∞}\frac{n}{n+1}$．当0＜x＜1时，S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{x}^{n}）}{1-x}$，可得函数$f（x）=\lim_{n→∞}\frac{S_n}{{{S_{n+1}}}}$=$\underset{lim}{n→∞}\frac{1-{x}^{n}}{1-{x}^{n+1}}$=1．当1＜x时，同理可得．

解答 解：当x=1时，S_n=n，∴函数$f（x）=\lim_{n→∞}\frac{S_n}{{{S_{n+1}}}}$=$\underset{lim}{n→∞}\frac{n}{n+1}$=1．
当0＜x＜1时，S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{x}^{n}）}{1-x}$，∴函数$f（x）=\lim_{n→∞}\frac{S_n}{{{S_{n+1}}}}$=$\underset{lim}{n→∞}\frac{1-{x}^{n}}{1-{x}^{n+1}}$=1．
当1＜x时，S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{x}^{n}）}{1-x}$，∴函数$f（x）=\lim_{n→∞}\frac{S_n}{{{S_{n+1}}}}$=$\underset{lim}{n→∞}\frac{1-{x}^{n}}{1-{x}^{n+1}}$=$\underset{lim}{n→∞}\frac{\frac{1}{{x}^{n}}-1}{\frac{1}{{x}^{n}}-x}$=$\frac{1}{x}$．
综上可得：$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}1&{0＜x≤1}\\{\frac{1}{x}}&{x＞1}\end{array}}\right.$．
故答案为：$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}1&{0＜x≤1}\\{\frac{1}{x}}&{x＞1}\end{array}}\right.$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式性质、极限的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．