题目内容

14.已知数列{an}满足a1=1,a2=4,an+2=3an+1-2an(n∈N*).
(1)设bn=an+1-2an,证明数列{bn}既是等差数列又是等比数列;
(2)求数列{an}的通项公式.

分析 (1)通过对an+2=3an+1-2an(n∈N*)变形可知an+2-2an+1=an+1-2an(n∈N*),进而可得结论;
(2)通过a1=1、a2=4、an+2-2an+1=an+1-2an(n∈N*)可知an+1-2an=2,进而an+1+2=2(an+2),进而计算可得结论.

解答 (1)证明:∵an+2=3an+1-2an(n∈N*),
∴an+2-2an+1=an+1-2an(n∈N*),
即bn+1=bn
∴数列{bn}既是等差数列又是等比数列;
(2)解:∵a1=1,a2=4,
∴a2-2a1=4-2=2,
又∵an+2-2an+1=an+1-2an(n∈N*),
∴an+1-2an=2,
即an+1+2=2(an+2),
又∵a1+2=1+2=3,
∴an+2=3•2n-1
∴an=-2+3•2n-1

点评 本题考查数列的通项及等差、等比数列的判定,考查运算求解能力,对表达式的灵活变形是解决本题的关键,注意解题方法的积累,属于中档题.

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