题目内容
【题目】已知函数,
.
(1)若曲线与
在点
处有相同的切线,求函数
的极值;
(2)若时,不等式
在
(
为自然对数的底数,
)上恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1)的极大值
,极小值为
;(2)
.
【解析】
(1)利用导数的几何意义求得,再对函数
求导,解导数不等式求得单调区间,从而求得函数的极值;
(2)设,定义域为
,要使
在
上恒成立,只需
在
上恒成立;对
分5种情况讨论,研究函数
的最小值,从而求得
的范围.
(1),
,
,
,
由题意知,∴
,
∴,∴
,
∴,
∴或
时,
,
时,
,
∴在
上是增函数,在
上是减函数,在
上是增函数,
∴的极大值
,极小值为
.
(2)设,定义域为
,
要使在
上恒成立,只需
在
上恒成立,
因为,
由于,所以由
,即
,可得
或
,
①当,即
,易知
,令
,
解得.不满足条件;
②当,即
时,则必须
,由①知,不满足条件;
③当,即
时,则必须
,解得
.不满足条件.
④当,即
时,则必须
,
由,解得
,
设,则
,
可知在区间
上单调递增,所以
,所以不满足条件;
⑤当,即
时,则必须
,解得
,而
,
所以.
综上所述的取值范围是
.

【题目】某公司为了解广告投入对销售收益的影响,在若干地区各投入4万元广告费用,并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图(如图所示).由于工作人员失误,横轴的数据丢失,但可以确定横轴是从0开始计数的.
(1)根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度;
(2)估计该公司投入4万元广告费用之后,对应销售收益的平均值(以各组的区间中点值代表该组的取值);
(3)该公司按照类似的研究方法,测得另外一些数据,并整理得到下表:
广告投入x(单位:万元) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
销售收益y(单位:万元) | 1 | 3 | 4 | 7 |
表中的数据显示,x与y之间存在线性相关关系,请将(2)的结果填入上表的空白栏,并计算y关于x的回归方程.
回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为,
.