题目内容

【题目】已知函数.

1)若曲线在点处有相同的切线,求函数的极值;

2)若时,不等式为自然对数的底数,)上恒成立,求实数的取值范围.

【答案】1的极大值,极小值为;(2.

【解析】

1)利用导数的几何意义求得,再对函数求导,解导数不等式求得单调区间,从而求得函数的极值;

2)设,定义域为,要使上恒成立,只需上恒成立;对5种情况讨论,研究函数的最小值,从而求得的范围.

1

由题意知,∴

,∴

时,时,

上是增函数,在上是减函数,在上是增函数,

的极大值,极小值为.

2)设,定义域为

要使上恒成立,只需上恒成立,

因为

由于,所以由,即,可得

①当,即,易知,令

解得.不满足条件;

②当,即时,则必须,由①知,不满足条件;

③当,即时,则必须,解得.不满足条件.

④当,即时,则必须

,解得

,则

可知在区间上单调递增,所以,所以不满足条件;

⑤当,即时,则必须,解得,而

所以.

综上所述的取值范围是.

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