题目内容
（2005•温州一模）已知点A（5，0）和⊙B：（x+5）2+y2=36，P是⊙B上的动点，直线BP与线段AP的垂直平分线交于点Q．（1）证明点Q的轨迹是双曲线，并求出轨迹方程．
（2）若(
| BQ |
| BA |
| QA |
分析：（1）由点Q在线段AP的垂直平分线上，知|QP|=|QA|，所以||BQ|-|PQ||=||BQ|-|AQ||=6．由此能求出点Q的轨迹方程．
（2）以A、B、Q为三个顶点作平行四边形ABQC，则
+
=
．由(
+
)•
=0，知
•
=0，所以平行四边形ABQC是菱形，由此能求出点Q的坐标．
（2）以A、B、Q为三个顶点作平行四边形ABQC，则
| BQ |
| BA |
| BC |
| BQ |
| BA |
| QA |
| BC |
| QC |
解答：解：（1）∵点Q在线段AP的垂直平分线上，
∴|QP|=|QA|，
∴||BQ|-|PQ||=||BQ|-|AQ||=6．
∴点Q的轨迹是以A、B为焦点的双曲线．（4′）
其轨迹方程是
-
=1．（7′）
（2）以A、B、Q为三个顶点作平行四边形ABQC，
则
+
=
∵(
+
)•
=0，
∴
•
=0，
∴平行四边形ABQC是菱形，
∴|
|=|
|．（8′）
∴点Q在圆（x+5）2+y2=100上．
解方程组
．（10′）
得Q(-
，±
)或Q(
，±
)．（12′）
∴|QP|=|QA|，
∴||BQ|-|PQ||=||BQ|-|AQ||=6．
∴点Q的轨迹是以A、B为焦点的双曲线．（4′）
其轨迹方程是
| x2 |
| 9 |
| y2 |
| 16 |
（2）以A、B、Q为三个顶点作平行四边形ABQC，
则
| BQ |
| BA |
| BC |
| BQ |
| BA |
| QA |
∴
| BC |
| QC |
∴平行四边形ABQC是菱形，
∴|
| BA |
| BQ |
∴点Q在圆（x+5）2+y2=100上．
解方程组
|
得Q(-
| 39 |
| 5 |
| 48 |
| 5 |
| 21 |
| 5 |
8
| ||
| 5 |
点评：本题主要考查双曲线标准方程，简单几何性质，直线与双曲线的位置关系，圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．
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