题目内容

已知椭圆 $数学公式$ 的离心率为 $数学公式$ ．
（Ⅰ）过椭圆C的右焦点F且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为1，求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设经过椭圆C右焦点F的直线l交椭圆C于A，B两点，交y轴于点P，且 $数学公式$ ，求λ₁+λ₂的值．

解：（Ⅰ）由题意得 $\text{[math]}$ 解得 $\text{[math]}$ （2分）
所以所求的椭圆方程为： $\text{[math]}$ ．（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ．
设直线l方程为： $\text{[math]}$ ，A点坐标为（x₁，y₁），
B点坐标为（x₂，y₂），得P点坐标 $\text{[math]}$ ，F点坐标为 $\text{[math]}$
因为 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$
因为 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ．（6分）
得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．（7分）
由 $\text{[math]}$ （8分）
得 $\text{[math]}$ ．
所以 $\text{[math]}$ ．（10分）
$\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ．（12分）
分析：（Ⅰ）由题意得 $\text{[math]}$ 解得 $\text{[math]}$ ，由此能得到所求的椭圆方程．
（Ⅱ）由 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ．设直线l方程为： $\text{[math]}$ ，A点坐标为（x₁，y₁），
B点坐标为（x₂，y₂），得P点坐标 $\text{[math]}$ ，F点坐标为 $\text{[math]}$ ，因为 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ．因为 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ 由此能求出λ₁+λ₂的值．
点评：本题考查圆锥曲线和直线的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．