Question

给出下列四个命题：
①若ξ～B（4，0.25），则Eξ=1
②线性相关系数r的绝对值越接近于1，表明两个随机变量线性相关性越强；
③若a，b∈[0，1]，则不等式a²+b²≤1成立的概率是

π

4

；
④函数y=log2(x2-ax+2)在[2，+∞)上恒为正，则实数a的取值范围是(-∞，

5

2

)．
其中真命题个数是（　　）

A．4

B．3

C．2

D．1

Answer 1

分析：①根据二项分别的期望公式可求Eξ=1．②根据线性相关系数r意义判断．③利用几何概型进行判断．④利用复合函数的性质判断．

解答：解：①若ξ～B（4，0.25），则Eξ=4×0.25=1，所以①正确．
②根据线性相关系数r意义可知线性相关系数r的绝对值越接近于1，表明两个随机变量线性相关性越强，所以②正确．
③若a，b∈[0，1]，则a，b对应的平面区域为正方形，面积为1，不等式a²+b²≤1成立，对应的区域为半径为1的圆在第一象限的部分，所以面积为

1

4

π，所以由几何概型可知不等式a²+b²≤1成立的概率是

π 4

1

=

π

4

．所以③正确．
④因为函数y=log₂（x²-ax+2）在[2，+∞）上恒为正，
所以在[2，+∞）上x²-ax+2＞1恒成立，即x²-ax+1＞0恒成立．
即a＜

1

x

+x：在[2，+∞）上恒成立，
设g(x)=

1

x

+x，则g′(x)=1-

1

x2

=

x2-1

x2

，因为x≥2，所以g'（x）＞0．
所以g（x）在[2，+∞）上为增函数，
所以：当x=2时，g（x）的最小值为g（2）=

5

2

．
所以a＜

5

2

，即实数a的取值范围是(-∞，

5

2

)，所以④正确．
故选A．

点评：本题主要考查了各种命题的真假判断，综合性较强．