Question

（本小题满分12分）
如图，在四棱锥S － ABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA⊥底面ABCD，AB垂直于AD和BC，SA ="AB=BC" =2，AD =1．M是棱SB的中点．

（Ⅰ）求证：AM∥面SCD；
（Ⅱ）求面SCD与面SAB所成二面角的余弦值；
（Ⅲ）设点N是直线CD上的动点，MN与面SAB所成的角为，求sin的最大值，

Answer 1

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）平面SCD与平面SAB所成二面角的余弦值为.
（Ⅲ）时，.

试题分析：（Ⅰ）以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，

则
， ，，，，.
则.
设平面SCD的法向量是则
即
令，则，于是.
，.
 AM∥平面SCD. …………………………（4分）
（Ⅱ）易知平面SAB的法向量为.设平面SCD与平面SAB所成的二面角为，
则，即.
平面SCD与平面SAB所成二面角的余弦值为.………………………（8分）
（Ⅲ）设，则.
又，面SAB的法向量为，
所以，.
.
当，即时，.…………………………（12分）
点评：典型题，立体几何中平行、垂直关系的证明及角的计算问题是高考中的必考题，通过建立适当的坐标系，可使问题简化。