题目内容
【题目】已知函数 . (I)当a=1时,求f(x)在x∈[1,+∞)最小值;
(Ⅱ)若f(x)存在单调递减区间,求a的取值范围;
(Ⅲ)求证: (n∈N*).
【答案】解:(I) ,定义域为(0,+∞). ∵ ,
∴f(x)在(0,+∞)上是增函数.
当x≥1时,f(x)≥f(1)=1;
(Ⅱ)∵ ,
∵若f(x)存在单调递减区间,
∴f′(x)<0有正数解.即ax2+2(a﹣1)x+a<0有x>0的解.
①当a=0时,明显成立.
②当a<0时,y=ax2+2(a﹣1)x+a为开口向下的抛物线,ax2+2(a﹣1)x+a<0总有x>0的解;
③当a>0时,y=ax2+2(a﹣1)x+a开口向上的抛物线,
即方程ax2+2(a﹣1)x+a=0有正根.
因为x1x2=1>0,
所以方程ax2+2(a﹣1)x+a=0有两正根.
,解得 .
综合①②③知: .
(Ⅲ)(法一)根据(Ⅰ)的结论,当x>1时, ,即 .
令 ,则有 ,
∴ .
∵ ,
∴ .
(法二)当n=1时,ln(n+1)=ln2.
∵3ln2=ln8>1,∴ ,即n=1时命题成立.
设当n=k时,命题成立,即 .
∴n=k+1时, .
根据(Ⅰ)的结论,当x>1时, ,即 .
令 ,则有 ,
则有 ,即n=k+1时命题也成立.
因此,由数学归纳法可知不等式成立
【解析】(I)可先求f′(x),从而判断f(x)在x∈[1,+∞)上的单调性,利用其单调性求f(x)在x∈[1,+∞)最小值;(Ⅱ)求h′(x),可得 ,若f(x)存在单调递减区间,需h′(x)<0有正数解.从而转化为:ax2+2(a﹣1)x+a<0有x>0的解.通过对a分 a=0,a<0与当a>0三种情况讨论解得a的取值范围;
(Ⅲ)(法一)根据(Ⅰ)的结论,当x>1时, ,再构造函数,令 ,有 ,从而 ,问题可解决;(法二)可用数学归纳法予以证明.当n=1时,ln(n+1)=ln2,3ln2=ln8>1 ,成立;设当n=k时, ,再去证明n=k+1时, 即可(需用好归纳假设).
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识,掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减,以及对函数的最大(小)值与导数的理解,了解求函数在上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数在内的极值;(2)将函数的各极值与端点处的函数值,比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值.
【题目】已知函数f(x)在R上是增函数,则下列说法正确的是( )
A.y=﹣f(x)在R上是减函数
B.y= 在R上是减函数
C.y=[f(x)]2在R上是增函数
D.y=af(x)(a为实数)在R上是增函数
【题目】某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y(单位:千元)的数据如表:
年份 | 2007 | 2008 | 2009 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 |
年份代号t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
人均纯收入y | 2.9 | 3.3 | 3.6 | 4.4 | 4.8 | 5.2 | 5.9 |
(Ⅰ)求y关于t的线性回归方程;
(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回归方程,分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.
附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为: = , = ﹣ .