题目内容
【题目】如图,己知、
是椭圆
的左、右焦点,直线
经过左焦点
,且与 椭圆
交
两点,
的周长为
.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)是否存在直线,使得
为等腰直角三角形?若存在,求出直线
的方程;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)(2)不存在
【解析】分析:(Ⅰ)由题意可知:,
,
,即可求得椭圆方程;
(Ⅱ)分类讨论:假设,利用作差法,即可求得
. (与
,
,
矛盾),将直线方程代入椭圆方程由韦达定理:
矛盾,故
.再证明
不可能为等腰直角三角形的直角腰,由勾股定理得:
,此方程无解.故不存在这样的等腰直角三角形.
解析:(Ⅰ)设椭圆的半焦距为
,因为直线
与
轴的交点为
,故
.
又的周长为
,即
,故
,所以,
.
因此,椭圆的标准方程力
.
注:本小题也可以用焦点和离心率作为条件,即将周长换离心率.
(Ⅱ)不存在.理由如下:
先用反证法证明不可能为底边,即
.
由题意知,设
,
,假设
,则
,
又,
,代入上式,消去
,
得:
.
因为直线斜率存在,所以直线
不垂直于
轴,所以
,故
.
(与,
,
矛盾)
联立方程,得:
,所以
矛盾.
故.
再证明不可能为等腰直角三角形的直角腰.
假设为等腰直角三角形,不妨设
为直角顶点.
设,则
,在
中,由勾股定理得:
,此方程无解.
故不存在这样的等腰直角三角形.

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