Question

9．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右准线l：x=$\frac{9\sqrt{5}}{5}$，离心率e=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，A，B是椭圆上的两定点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若动点P满足$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$，当直线AB与OP斜率均存在时，求|k_AB|+|k_OP|的最小值．

Answer 1

分析 （1）由椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右准线l：x=$\frac{9\sqrt{5}}{5}$，离心率e=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，可得$\frac{{a}^{2}}{c}=\frac{9\sqrt{5}}{5}$，$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{3}$，又a²=b²+c²，联立解出即可；
（2）设直线AB的方程为：y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由动点P满足$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$，可得P（x₁+x₂，y₁+y₂）．因此|k_OP|=$|\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}|$=$|k+\frac{2m}{{x}_{1}+{x}_{2}}|$．直线方程与椭圆方程联立化为（4+9k²）x²+18kmx+9m²-36=0，利用根与系数的关系可得：|k_AB|+|k_OP|=|k|+$\frac{4}{9|k|}$，再利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：（1）∵椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右准线l：x=$\frac{9\sqrt{5}}{5}$，离心率e=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∴$\frac{{a}^{2}}{c}=\frac{9\sqrt{5}}{5}$，$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{3}$，又a²=b²+c²，
联立解得：$c=\sqrt{5}$，a=3，b=2．
∴椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（2）设直线AB的方程为：y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∵动点P满足$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$，∴P（x₁+x₂，y₁+y₂）．
∴|k_OP|=$|\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}|$=$|\frac{k（{x}_{1}+{x}_{2}）+2m}{{x}_{1}+{x}_{2}}|$=$|k+\frac{2m}{{x}_{1}+{x}_{2}}|$．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，化为（4+9k²）x²+18kmx+9m²-36=0，
由△＞0，可得m²＜4+9k²．
∴x₁+x₂=$\frac{-18km}{4+9{k}^{2}}$，
∴|k_AB|+|k_OP|=|k|+$|k+\frac{2m}{{x}_{1}+{x}_{2}}|$=|k|+$|k-\frac{4+9{k}^{2}}{9k}|$
=|k|+$\frac{4}{9|k|}$
≥2$\sqrt{|k|•\frac{4}{9|k|}}$=$\frac{4}{3}$．当且仅当|k|=$\frac{2}{3}$时取等号．
∴|k_AB|+|k_OP|的最小值是$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查了圆锥曲线的标准方程及其性质、直线与椭圆相交转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．