Question

【题目】已知函数是定义在上的奇函数.

（1）求函数的解析式；

（2）求不等式的解集；

（3）若在上有两个零点，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）由是定义在上的奇函数，得，再由奇函数的性质，得，列出方程组求出a、b的值即可；

（2）先利用函数单调性的定义判断出f（x）的单调性，再解不等式即可；

（3）由题意转化为，且，令，构造在上递减，在上递增，即可求得的取值范围.

（1）已知函数是定义在上的奇函数，得，解得，所以.

又，解得，所以.

（2）设x1，x2是R上的任意两个值，且x1＜x2，有

因为x1＜x2，又g（x）＝2x为R上的单调增函数，所以，

所以f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），所以函数f（x）为R上的单调增函数．

由不等式，得，

即，解得，得或.

所以不等式的解集为.

（3）因为在上有两个零点，所以，

得，，令，

则在上递减，在上递增，所以，，.则.