题目内容
【题目】已如椭圆C:的两个焦点与其中一个顶点构成一个斜边长为4的等腰直角三角形.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设动直线l交椭圆C于P,Q两点,直线OP,OQ的斜率分别为k,k'.若,求证△OPQ的面积为定值,并求此定值.
【答案】(1);(2)△OPQ的面积为定值,且此定值为
,见解析
【解析】
(1)根据等腰直角三角形可知,,根据
求解椭圆方程;(2)当
与
轴垂直时,设
,代入
和椭圆方程,得到面积,当
与
轴不垂直时,设直线l的方程为
,联立方程,得到根与系数的关系,并表示面积,得到面积是定值.
(1)设椭圆C的左、右焦点分别为F1,F2.依题查,有得
,则
,
所以椭圆C的标准方程为.
(2)证明:①当直线1与x轴垂直时,设直线l的方程为,
,
.
由,且
,解得
,
或
,
,所以
.
②当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为,
,
.
联立直线l和椭圆C的方程,得整理得
.
,
,
.
由,则
,即
,
所以,
即,整理得
,则
.
又,
点O到直线PQ的距离为,所以
.
综上,△OPQ的面积为定值,且此定值为.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目