Question

（本题满分12分）
函数，其中为常数．
（1）证明：对任意，的图象恒过定点；
（2）当时，判断函数是否存在极值？若存在,求出极值；若不存在,说明理由；
（3）若对任意时，恒为定义域上的增函数，求的最大值．

Answer 1

解：（1）令，得，且，
所以的图象过定点；  
（2）当时，， 
令，经观察得有根，下证明无其它根．
，当时，，即在上是单调递增函数．
所以有唯一根；且当时，，在 上是减函数；当时，，在上是增函数；
所以是的唯一极小值点．极小值是．
（3），令
由题设，对任意，有，，
又   
当时，，是减函数；
当时，，是增函数；
所以当时，有极小值，也是最小值，
又由得，得，即的最大值为．

略