Question

对于定义域为D的函数y=f（x），如果存在区间[m，n]⊆D，同时满足下列条件：①f（x）在[m，n]内是单调的；②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]时，则称[m，n]是该函数的“和谐区间”．
（1）判断函数是否存在“和谐区间”，并说明理由；
（2）如果[m，n]是函数的一个“和谐区间”，求n-m的最大值；
（3）有些函数有无数个“和谐区间”，如y=x，请你再举一类（无需证明）

Answer 1

【答案】分析：（1）该问题是一个判断性问题，从正面证明有一定的难度，故可采用反证法来进行证明，即先假设区间[m，n]为函数的“和谐区间”，然后根据函数的性质得到矛盾，进而得到假设不成立，原命题成立．
（2）设[m，n]是已知函数定义域的子集，我们可以用a表示出n-m的取值，转化为二次函数的最值问题后，根据二次函数的性质，可以得到答案．
（3）根据“和谐区间”的定义，我们还可以写出以下函数：y=a-x（a为常数），（k＞o为常数）满足有无数个“和谐区间”．
解答：解：（1）设[m，n]是函数的“和谐区间”，则在[m，n]上单调．
所以[m，n]⊆（-∞，0）或[m，n]⊆（0，+∞）
因此，在[m，n]上为增函数．
则f（m）=m，f（n）=n．即方程有两个解m，n
又可化为x²-3x+4=0，而x²-3x+4=0无实数解．
所以，函数不存在“和谐区间”
（2）因为在[m，n]上是单调的，
所以[m，n]⊆（-∞，0）或[m，n]⊆（0，+∞）
则f（m）=m，f（n）=n
所以m，n是的两个同号的实数根
即方程a²x-（a²+a）x+1=0有两个同号的实数根，注意到
只要△=（a²+a）²-4a²＞0，解得a＞1或a＜-3
所以
其中a＞1或a＜-3，所以，当a=3时，n-m取最大值
（3）答案不唯一，如可写出以下函数：y=a-x（a为常数），（k＞0为常数）
点评：本题主要以新定义为载体，综合考查了函数的单调性、函数的最值方程的根的情况、二次函数的最值的求解，考查了利用已学知识解决新问题的能力，考查了推理运算的能力，本题综合性较强．