题目内容
设x,y∈R,i,j为直角坐标平面内x轴、y轴正方向上的单位向量,若向量a=xi+(y+2 |
2 |
(I)求点M(x,y)的轨迹C的方程;
(II)若轨迹C上在第一象限的一点P的横坐标为1,作斜率为
2 |
分析:(I)条件“|a|+|b|=4”可以看成是动点到两定点的距离之和为4,联想椭圆的定义解决“点P(x,y)的轨迹C”;
(II)△AOB的面积取到最大值问题,要先建立关于某个自变量的函数,后再求此函数的最大值即可.
(II)△AOB的面积取到最大值问题,要先建立关于某个自变量的函数,后再求此函数的最大值即可.
解答:解:(I)∵a=xi+(y+
)j,b=xi+(y-
),且|a|+|b|=4
∴点P(x,y)到点( 0,
),(0,-
)的距离之和为4,
故点P的轨迹方程为
+
=1.
(II)设A(x1,y1),B(x2,y2)依题意得,直线AB的方程y=
x+m,代入椭圆方程,得4x2+2
mx+m2-4=0,
则x1+x2=-
m,x1•x2=
(m2-4),
又O点到AB的距离d=
,
因此,S△AOB=
|AB|•d
=
•
•
=
≤
,
∴当8-m2=m2时,即m=±
时,Smax=
.
2 |
2 |
∴点P(x,y)到点( 0,
2 |
2 |
故点P的轨迹方程为
x 2 |
4 |
y 2 |
2 |
(II)设A(x1,y1),B(x2,y2)依题意得,直线AB的方程y=
2 |
2 |
则x1+x2=-
| ||
2 |
1 |
4 |
又O点到AB的距离d=
|m| | ||
|
因此,S△AOB=
1 |
2 |
=
1 |
2 |
(1+1)[(x1+x2) 2-4x1x2] |
|m| | ||
|
=
1 |
2 |
|
2 |
∴当8-m2=m2时,即m=±
2 |
2 |
点评:(1)平面向量与解析几何的结合通常涉及轨迹等问题的处理,目标是将几何问题坐标化、符号化、数量化,从而将推理转化为运算,或者考虑向量运算的几何意义,利用其几何意义解决有关问题.(2)直线l与点P的轨迹的交点问题,组成方程组解决.
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