Question

20．已知递增的等差数列{a_n}的首项a₁=1，且a₁、a₂、a₄成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）设数列{c_n}对任意n∈N^*，都有$\frac{{c}_{1}}{2}$+$\frac{{c}_{2}}{{2}^{2}}$+…+$\frac{{c}_{n}}{{2}^{n}}$=a_n+1成立，求c₁+c₂+…+c₂₀₁₄的值
（3）若b_n=$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$（n∈N^*），求证：数列{b_n}中的任意一项总可以表示成其他两项之积．

Answer 1

分析 （1）利用等比数列和等差数列的通项公式即可求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）利用作差法求出数列{c_n}的通项公式，利用等比数列的求和公式即可求c₁+c₂+…+c₂₀₁₄的值
（3）求出b_n=$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$的表达式，建立方程关系即可得到结论．

解答 解：（1）{a_n}是递增的等差数列，设公差为d，（d＞0）…（1分）
∵a₁、a₂、a₄成等比数列，∴a₂²=a₁a₄，…（2分）
即（1+d）²=1×（1+3d），及d＞0得d=1…（3分）
∴a_n=n．…（4分）
（2）∵a_n+1=n+1，$\frac{{c}_{1}}{2}$+$\frac{{c}_{2}}{{2}^{2}}$+…+$\frac{{c}_{n}}{{2}^{n}}$=a_n+1=n+1对n∈N^*，都成立
当n=1时，$\frac{{c}_{1}}{2}=2$得c₁=4，…（5分）
当n≥2时，由$\frac{{c}_{1}}{2}$+$\frac{{c}_{2}}{{2}^{2}}$+…+$\frac{{c}_{n}}{{2}^{n}}$=n+1①，
及$\frac{{c}_{1}}{2}$+$\frac{{c}_{2}}{{2}^{2}}$+…+$\frac{{c}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$=n  ②
①-②得$\frac{{c}_{n}}{{2}^{n}}$=1，得c_n=2ⁿ，…（7分）
∴c_n=$\left\{\begin{array}{l}{4，}&{n=1}\\{{2}^{n}，}&{n≥2}\end{array}\right.$，…（8分）
∴c₁+c₂+…+c₂₀₁₄=4+2²+2³+…+2²⁰¹⁴=4+$\frac{{2}^{2}（1-{2}^{2013}）}{1-2}$=2²⁰¹⁵．…（10分）
（3）对于给定的n∈N^*，若存在k，t≠n，k，t∈N^*，使得b_n=b_kb_t，…（11分）
∵b_n=$\frac{n+1}{n}$，∴只需$\frac{n+1}{n}$=$\frac{k+1}{k}•\frac{t+1}{t}$，…（12分）
即1+$\frac{1}{n}$=（1+$\frac{1}{k}$）（1+$\frac{1}{t}$），即$\frac{1}{n}$=$\frac{1}{k}$+$\frac{1}{t}$+$\frac{1}{kt}$，
即kt=nt+nk+n，t=$\frac{n（k+1）}{k-n}$，
取k=n+1，则t=n（n+2）…（14分）
∴对数列{b_n}中的任意一项b_n=$\frac{n+1}{n}$，都存在b_n+1=$\frac{n+2}{n+1}$和${b}_{{n}^{2}+2n}=\frac{{n}^{2}+2n+1}{{n}^{2}+2n}$，
使得b_n=b_n+1${b}_{{n}^{2}+2n}$．…（16分）

点评 本题主要考查等比数列和等差数列的应用，以及数列求和，利用条件求出对应的通项公式是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．