Question

【题目】设函数，，，其中是的导函数.

（1）令，，，求的表达式；

（2）若恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】分析：（1）求出的解析式，依次计算即可得出猜想；
（2）已知恒成立，即 恒成立．

设 (x≥0)，

则φ′(x)＝=－＝，

对 进行讨论，求出 的最小值，令 恒成立即可；

详解：

由题设得，g(x)＝ (x≥0)．

(1)由已知，g1(x)＝，

g2(x)＝g(g1(x))＝＝，

g3(x)＝，…，可得gn(x)＝.

下面用数学归纳法证明．

①当n＝1时，g1(x)＝，结论成立．

②假设n＝k时结论成立，即gk(x)＝.

那么，当n＝k＋1时，

gk＋1(x)＝g(gk(x))＝＝，

即结论成立．

由①②可知， 结论对n∈N＋成立．

所以gn(x)＝.

(2)已知f(x)≥ag(x)恒成立，即ln(1＋x)≥恒成立．

设φ(x)＝ln(1＋x)－ (x≥0)，

则φ′(x)＝=－＝，

当a≤1时，φ′(x)≥0(仅当x＝0，a＝1时等号成立)，

∴φ(x)在[0，＋∞)上单调递增，又φ(0)＝0，

∴φ(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，

∴a≤1时，ln(1＋x)≥恒成立(仅当x＝0时等号成立)．

当a>1时，对x∈(0，a－1]有φ′(x)<0，∴φ(x)在(0，a－1]上单调递减，

∴φ(a－1)<φ(0)＝0，

即a>1时，存在x>0，使φ(x)<0，故知ln(1＋x)≥不恒成立．

综上可知，a的取值范围是(－∞，1]．