Question

5．在平面直角坐标系xoy中，P是双曲线$\frac{{x}^{2}}{16}-\frac{{y}^{2}}{16}$=1右支上一个动点，若点P到直线x-y+$\sqrt{3}$=0的距离大于a恒成立．则实数a的最大值为$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

Answer 1

分析 双曲线x²-y²=1的渐近线方程为x±y=0，a的最大值为直线x-y+$\sqrt{3}$=0与直线x-y=0的距离．

解答 解：由题意，双曲线$\frac{{x}^{2}}{16}-\frac{{y}^{2}}{16}$=1的渐近线方程为x±y=0，
因为点P到直线x-y+$\sqrt{3}$=0的距离大于a恒成立，
所以a的最大值为直线x-y+$\sqrt{3}$=0与直线x-y=0的距离，即$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
实数a的最大值为：$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

点评 本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．