Question

19．已知圆柱轴截面为PQBA，C为底面圆周上异于A、B的一点，D为PC中点．
（1）若AC=PA，求证：AD⊥PB；
（2）若四边形PQBA是正方形，C为弧AB的中点，PA=2，求点A到平面PBC的距离．

Answer 1

分析 （1）证明BC⊥平面PAC，可得BC⊥AD，证明AD⊥PC，可得AD⊥平面PBC，即可证明AD⊥PB；
（2）由（1）知，AD⊥平面PBC，AD为点A到平面PBC的距离，利用等面积，即可求点A到平面PBC的距离．

解答 （1）证明：∵AB是圆的直径，
∴BC⊥AC，
∵PA⊥BC，PA∩AC=A，
∴BC⊥平面PAC，
∵AD?平面PAC，
∴BC⊥AD，
∵AC=PA，D为PC中点，
∴AD⊥PC，
∵BC∩PC=C，
∴AD⊥平面PBC，
∵PB?平面PBC，
∴AD⊥PB；
（2）解：由（1）知，AD⊥平面PBC，
∴AD为点A到平面PBC的距离．
∵四边形PQBA是正方形，C为弧AB的中点，PA=2，
∴AC=$\sqrt{2}$，PC=$\sqrt{6}$，
∴由等面积可得AD=$\frac{PA•AC}{PC}$=$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{6}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查线面垂直的判定与性质，考查点A到平面PBC的距离，正确运用线面垂直的判定与性质是关键．