题目内容
14．已知直线l经过抛物线y2=6x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点．（1）若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；
（2）若|AB|=9，求线段AB的中点M到准线的距离．
分析 （1）由y2=6x，得准线方程、焦点F（1，0）．直线l的方程为y-0=tan60°（x-1.5），与抛物线方程联立，消y，整理得4x2-20x+9=0，其两根为x1，x2，且x1+x2=5，由抛物线的定义可知线段AB的长；
（2）|AB|=p+x1+x2=9，即可求线段AB的中点M到准线的距离．
解答 解：（1）由y2=6x，准线方程为x=-1.5，焦点F（1.5，0）．
直线l的方程为y-0=tan60°（x-1.5），即y=$\sqrt{3}$x-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．
与抛物线方程联立，消y，整理得4x2-20x+9=0，其两根为x1，x2，且x1+x2=5．
由抛物线的定义可知，|AB|=p+x1+x2=8．
所以，线段AB的长是8．
（2）|AB|=p+x1+x2=9，则$\frac{|AB|}{2}$=4.5
∴线段AB的中点M到准线的距离为4.5．
点评 本题考查抛物线的方程与性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的定义，属于中档题．
练习册系列答案
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4．
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如图，在矩形ABCD中，AB=$\frac{3}{2}$，BC=2，沿BD将三角形ABD折起，连接AC，所得三棱锥A-BCD的主视图和俯视图如图所示，则三棱锥A-BCD左视图的面积为（ ）| A． | $\frac{9}{25}$ | B． | $\frac{18}{25}$ | C． | $\frac{36}{25}$ | D． | $\frac{12}{5}$ |
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