Question

9．已知a₁=1，a_n+1=a_n+n²+n，求a_n．

Answer 1

分析 利用1²+2²+…+n²=$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$，等差数列的前n项和公式，“累加求和”即可得出．

解答 解：∵a₁=1，a_n+1=a_n+n²+n，
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=[（n-1）²+（n-1）]+[（n-2）²+（n-2）]+…+（1²+1）+1
=[（n-1）²+（n-2）²+…+2²+1¹]+[（n-1）+（n-2）+…+1]+1
=$\frac{（n-1）n（2n-1）}{6}$+$\frac{n（n-1）}{2}$+1，
=$\frac{（n-1）n（n+1）}{3}$+1．
∴a_n=$\frac{（n-1）n（n+1）}{3}$+1．

点评 本题考查了公式1²+2²+…+n²=$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$、等差数列的前n项和公式，“累加求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．