题目内容

已知双曲线C： $数学公式$ （a＞0，b＞0）的离心率为 $数学公式$ ，且过点（4，3）．
（1）求双曲线C的标准方程和焦点坐标；
（2）已知点P在双曲线C上，且∠F₁PF₂=90°，求点P到x轴的距离．

解：（1）∵ $\text{[math]}$ ∴a²=b²∴双曲线C： $\text{[math]}$ …（2分）
将点（4，3）代入得a²=b²=1…（4分）
∴双曲线C的标准方程为x²-y²=1，焦点坐标为F₁（ $\text{[math]}$ ）和F₂（ $\text{[math]}$ ）…（6分）
（2）由已知得 $\text{[math]}$ ∴|F₁P|•|F₂P|=2…（9分）
所以点P到x轴的距离为 $\text{[math]}$ ．…（12分）
分析：（1）通过离心率与点在双曲线上，得到两个方程，求出a，b，即可求双曲线C的标准方程和焦点坐标；
（2）利用点P在双曲线C上，且∠F₁PF₂=90°，勾股定理与双曲线的定义列出方程，利用三角形的面积，求点P到x轴的距离．
点评：本题考查双曲线方程的求法，双曲线的简单性质，考查计算能力．

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（08年潍坊市六模）（12分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0），B是右顶点，F是右焦点，点A在x轴正半轴上，且满足、、成等比数列，过F作双曲线C在第一、第三象限的渐近线的垂线l，垂足为P．

　　（1）求证：；

　　（2）若l与双曲线C的左、右两支分别相交于点D、E，求双曲线C的离心率e的取值范围．

已知双曲线C:=1（a＞0,b＞0）,B是右顶点，F是右焦点，点A在x轴的正半轴，且满足||、||、||成等比数列，过F作双曲线C在第一、三象限的渐近线的垂线l，垂足为P.

（1）求证：·=·；

（2）若l与双曲线C的左、右两支分别交于点D、E，求双曲线C的离心率e的取值范围.

已知双曲线C：=1(a＞0,b＞0)，B是右顶点，F是右焦点，点A在x轴正半轴上，且||、||、||成等比数列，过F作双曲线C在第一、三象限的渐近线的垂线l，垂足为P.

（1）求证：·=·；

（2）若l与双曲线C的左、右两支分别相交于点D、E，求双曲线离心率e的取值范围.

已知双曲线C：（a>0,b>0）的左、右焦点分别为、，离心率为3，直线y=2与C的两个交点间的距离为.

（Ⅰ）求a,b；

（Ⅱ）设过的直线l与C的左、右两支分别交于A、B两点，且，证明：、、成等比数列.

在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：

（a＞0）的一条渐近线与直线l：2x-y+1=0垂直，则实数a= ．